RESEP MASAKAN BERBAHAN DASAR SAYURAN

Pilih sayuran yang masih segar, dan yang warnanya sesuai dengan sayuran itu. Kalau kangkung hijau segar, wortel orange dan seterusnya. Sayuran yang ideal memang tidak berlubang-lubang akibat gigitan utal, tapi terlalu mulus juga patut dicurigai, jangan-jangan kebanyakan peptisida. Dan untuk umbi-umbian seperti kentang, wortel, lobak harus ditekan-tekan untuk melihat dan memastikan apakah ada bagian yang membusuk atau tidak.

Cara Menyimpan :

Bungkus dengan kertas yang bisa menyerap air, supaya sayuran tidak busuk, lalu masukkan ke dalam lemari pendingin.

1)       Sup Jagung Keju

1/4 Kg Jagung Manis              5 Sdm Susu Kental Manis

Sdt Mentega                           Keju Cheddar Parut Secukupnya

Cara Membuat :

1.      Rebus jagung setengah matang

2.      Setelah diangkat dinginkan jagung sejenak, lalu pipil jagung hingga bersih. Kemudian kukus hingga matang

3.      Siapkan wadah plastik, olesi dengan mentega.

4.      Setelah jagung matang masukan ke wadah plastik yang sudah diolesi mentega.

5.      Masukan susu kental manis

6.      Taburi dengan Keju Cheddar Parut

7.      Jika ingin berair tambahkan air matang setengah gelas.

8.      Sajikan, untuk 2 porsi. 

  

2)      Sup Jagung Muda

3 buah Jagung muda (diiris - iris)       2 btr Telur ayam         Air Secukupnya

300 gr Wortel (diiris - iris)                  2 siung Bawang putih (diiris - iris)

300 gr Bunga kol (diiris - iris)             100 gr Daging sapi giling    

3 lbr Daun bawang (diiris - iris)          1 tangkai Seledri (diiris - iris)    

5 siung Bawang merah (diiris - iris)        Garam, pala dan merica secukupnya 

Cara Memasak :

1.      Tumis bawang merah, bawang putih, pala, merica dan daging giling hingga harum.

2.      Masukkan Air, tambahkan jagung muda, wortel, bunga kol, daun bawang dan seledri.

3.      Bila sayuran sudah matang, masukkan telur yang sudah dikocok kedalamnya.

4.      Aduk hingga telur bercampur benar dengan sayuran.

5.      Kalau telur kelihatan sudah masak, angkat dan sajikan panas - panas.

3)      Kentang goreng

2 buah kentang           2 siung bawang putih iris tipis            1 sdm garam

Air 400ml                    minyak goreng secukupnya

Cara membuat :

1.      Kentang dikupas lalu dicuci, di iris bentuk sumpit.

2.      Masukkan kentang yang telah diiris ke dalam panci, campurkan garam, bawang pitih dan air

3.      Rebus sehingga air dalam panic mendidih sambil diaduk. Tirskan kentang dan siram dengan air dingin

4.      Goreng kentang dalam minyak panas hingga hampir matang, angkat dan tiriskan.

5.      Diamkan kentang yang telah digoreng tersebut hingga menjadi dingin

6.      Setelah dingin, goreng kembali kentang tersebut sampai matang dan berwarna kuning kecoklatan. Angkat dan tiriskan

4)      Resep Bunga Sosis

8 bh sosis                     100 gr mie telur, rebus dan tiriskan

50 gr tepung panir halus        1 btr telur, kocok lepas           50 gr udang giling

1 btg daun bawang, iris tipis              minyak untuk menggoreng

Bumbu Halus :

1 sdt ketumbar            3 siung bawang putih              ¾ sdt merica   ¾sdt garam

Cara Membuat :

1.      Potong sosis menjadi dua bagian. Belah empat disalah satu ujung sosis hingga kebagian tengahnya.

2.      Aduk mie, telur, tepung panir halus, dan daun bawang.

3.      Tambahkan udang giling dan bumbu halus, aduk sampai rata.

4.      Bulatkan adonan seperti bola pingpong. Tancapkan bagian sosis yang tidak terbelah.

5.      Goreng sampai kecokelatan. Angkat dan sajikan dengan saus sambal.

5)      Kangkung Belacan Hotplate

Bahan :

Kangkung, 2 ikat, siangi, potong kasar                       Telur puyuh rebus, 2 butir, kupas

Udang, 3 ekor, buang kepala dan kulitnya, rebus sebentar

Minyak goreng, 2 sendok makan                   Air panas, 2 sendok makan

Bumbu :

Terasi, 1 sendok teh ( yang sudah dibakar atau digoreng )

Taoco, 1 sendok makan                      Cabai merah, 1 buah, iris tipis

Bawang merah, 2 buah, iris tipis                    Bawang putih, 2 siung, iris tipis

Daun salam, 1 lembar                        Garam, secukupnya                Gula pasir, 1/2 sdt

Cara membuat Kangkung Belacan Hotplate :

1.      Siapkan piring hotplate, panaskan hingga benar-benar panas.

2.      Panaskan minyak, tumis semua bumbu hingga harum. Tambahkan 2 sdm air panas, didihkan. Angkat.

3.      Atur kangkung, telur puyuh dan udang rebus di atas hotplate, siram dengan tumisan bumbu. Sajikan.

6)      Sayur Asam Kepala Ikan Kakap

Kepala ikan kakap, 1 buah      Singkong, 500 gram, potong dadu

Kangkung, 1 ikat, siangi          Daun kedondong, 1 ikat          Kacang panjang, 1 ikat

Kol, 100 gram             Asam jawa / terong asam, secukupnya

Garam dan Gula pasir, secukupnya                Minyak goreng, 3 sendok makan

Bumbu Halus :

Bawang merah, 5 butir           Bawang putih, 4 siung                        Cabai merah, 4 buah

Kemiri, 10 butir           Kunyit, 2 cm                Jahe, 2 cm       Daun salam, 3 lembar

Serai, 2 batang, memarkan                Lengkuas, 3 cm, memarkan

Cara membuat Sayur Asam Kepala Ikan Kakap :

1.      Panaskan minyak, tumis bumbu halus hingga harum, kemudian masukkan kepala ikan kakap. Masak hingga berubah warna.

2.      Tuang air, masukkan singkong, dan kacang panjang. Masak hingga setengah matang.

3.      Tambahkan garam, gula, daun kedondong, kol, kangkung dan asam jawa. Masak hingga mendidih dan matang. Angkat dan sajikan.

7)      Tahu Tempe Asam Pedas

Tahu 2 buah, Tempe 2 buah, potong bentuk dadu 1 cm, goreng

Udang kupas 100 gram           Nanas 1/2 buah, potong bentuk dadu 1 cm

Santan 100 ml dari 1/4 butir kelapa              Minyak goreng 2 sendok makan

Bumbu halus :

Bawang putih 1 siung             Bawang merah 2 butir            Cabai merah 4 buah

Cabai rawit 4 buah                 Garam secukupnya                 Gula pasir secukupnya

Terasi 1/2 sendok teh

Cara memasak Tahu Tempe Asam Pedas :

1.      Panaskan minyak, tumis bumbu halus hingga harum.

2.      Masukkan udang, masak hingga udang berubah warna.

3.      Masukkan tahu dan tempe, aduk rata.

4.      Tuang santan, masak hingga bumbu meresap dan santan habis.

5.      Masukkan nanas, aduk rata. Angkat. Sajikan.

8)      Sayur Tempe Campur

Tempe 1 potong ( 150 gram ), potong bentuk korek api, goreng

Kacang panjang 50 gram, potong 3 cm         Minyak goreng 2 sendok makan

Cecek/ kulit sapi basah 50 gram, potong panjang                 Daun salam 1 lembar

Bunga kol 50 gram, potong per kuntum                    Santan 500 ml dari ½ butir kelapa

Lengkuas 1 cm, memarkan                Cabai rawit 6 buah                 Air kaldu 300 ml

Bumbu halus :

Bawang merah 4 butir            Bawang putih 3 siung             Cabai merah 3 buah

Kemiri 3 butir              Ketumbar 1 sdt           Kencur 1 cm

Garam secukupnya                 Gula pasir secukupnya

Cara memasak Sayur Tempe Campur :

1.      Panaskan minyak, tumis bumbu halus, daun salam dan lengkuas hingga harum.

2.      Masukkan tempe, cecek, kacang panjang dan cabai rawit. Aduk rata. Tuang air kaldu, didihkan.

3.      Masukkan bunga kol, didihkan kembali.

4.      Tuang santan, masak hingga mendidih sambil diaduk agar santan tidak pecah. Angkat, sajikan.

9)      Sayur Lodeh Ubi

Ubi manis 250 gram, kupas, potong bentuk batang korek api

Petai 1 papan, belah dua bagian        Cabai hijau 50 gram, iris serong

Tempe 150 gram, potong dadu          Santan 700 ml dari 1/2 butir kelapa

Minyak goreng 2 sendok makan

Bumbu Sayur Lodeh Ubi :

Lengkuas 1 cm, memarkan    Daun salam 2 lembar             Gula pasir & Garam

Bawang merah 5 butir, iris tipis         Bawang putih 3 siung, iris tipis

Cara memasak Sayur Lodeh Ubi :

1.      Panaskan minyak, tumis bawang merah, bawang putih, lengkuas dan daun salam hingga harum. Tambahkan tempe, aduk hingga rata.

2.      Masukkan ubi, masak sampai setengah matang. Tambahkan petai dan cabai hijau. Aduk sampai rata.

3.      Tuang santan, tambahkan gula dan garam. Masak hingga mendidih dan matang sambil sesekali diaduk agar santan tidak pecah. Angkat. Sajikan.

10)  Bahan Sup Brokoli Asam Manis :

Brokoli 300 gram, potong per kuntum           Jagung manis pipil 2 sendok makan

Kacang merah kaleng 3 sendok makan          Udang ukuran sedang 8 ekor, kupas

Cumi-cumi 1 ekor, bersihkan, potong bentuk cincin

Cabai merah 2 buah, buang isi, iris panjang              Air 1 liter

Royco ayam 1 bungkus           Merica bubuk 1/4 sendok teh

Cara membuat Sup Brokoli Asam Manis :

1.      Panaskan minyak goreng, tumis bawang bombay dan bawang putih hingga harum. Masukkan cabai merah, udang dan cumi-cumi. Masak hingga bahan layu.

2.      Tambahkan tomat cincang dan saus sambal, aduk rata. Tuangkan air, didihkan.

3.      Masukkan garam, royco ayam, merica, gula pasir dan jagung manis. Masak hingga bahan lunak.

4.      Tambahkan brokoli dan kacang merah, aduk rata, masak hingga bumbu meresap.

5.      Tuangkan air jeruk lemon dan minyak wijen, aduk rata. Masak selama 3 menit. Angkat. Sajikan.

11)  Sup Pangsit Ayam Sayuran

Bahan :

Kulit Pangsit 20 lembar          Fillet ayam 300 gram, cincang           Telur ayam 1 butir

Royco ayam 1 bungkus           Bayam 100 gram (1/2 ikat ), siangi daunnya, iris halus

Merica bubuk 1/4 sdt             Kacang polong beku, 3 sendok makan

Kapri 100 gram, siangi                       Cabai merah 3 buah, buang isi, iris tipis

Bahan kuah Sup Pangsit Ayam Sayuran

Air 1 liter         Royco ayam, 1 bungkus          Daun bawang 2 batang, potong kasar

Seledri 1 batang, potong kasar           Jahe 2 cm, iris halus               Kecap asin 1 sdt

Merica bubuk, 1/4 sdt                        Garam, 1/2 sendok the           Minyak wijen, 1 sdt

Bawang putih, 3 siung, cincang kasar                        Minyak goreng, 3 sendok makan

Cara memasak Sup Pangsit Ayam Sayuran :

1.      Pangsit : Campur ayam yang telah dihaluskan, royco ayam, bayam, merica dan telur ayam. Aduk hingga tercampur rata. Ambil selembar kulit pangsit, isi dengan adonan bayam lalu lipat seperti pangsit. Kukus selama 10 menit, angkat.

2.      Kuah : Panaskan minyak goreng, tumis bawang putih dan jahe hingga harum. Tuangkan air, garam, royco ayam, dan semua bahan lainnya kecuali minyak wijen. Aduk rata, didihkan.

3.      Masukkan kapri, pangsit ayam bayam dan cabe iris, aduk rata, masak hingga bumbu meresap.

4.      Tambahkan kacang polong, masak sebentar. Tuangkan minyak wijen, aduk rata, angkat.

5.      Tuang sup ke mangkuk.

6.      Sajikan hangat Sup Pangsit Ayam Sayuran.

  

12)  Bahan Sup Jamur Tahu :

200 gr tahu, potong dadu kecil           100 gr jamur kancing kaleng

2 buah wortel bentuk kembang bulat (ato bentuk suka2 aja deh)

1 batang daun seledri iris 1 cm          20 gram soun rendam dalam air, tiriskan

3 buah baso ikan, 1 belah 4

Bumbu Sup Jamur Tahu :

50 gram bawang bombai, iris serong tipis     2 siung bawang putih memarkan

1 sdt lada bubuk          1/4 sdt pala bubuk      1 lt kaldu sapi

1 sdm minyak untuk menumis            11/2 sdt garam

Cara membuat Sup Jamur Tahu :

1.      Panaskan minyak tumis bawang bombai dan bawang putih hingga harum.

2.      Masak air kaldu, wortel, , lada, pala, bumbu yang telah ditumis hingga wortel setengah matang.

3.      Masukkan jamur, baso ikan, tahu dan daun seledri, masak hingga semua bahan matang. Masukkan soun sesaat sebelum diangkat.

4.      Sajikan selagi masih hangat.

  

13)  Sup Bola Udang

Bahan :

4 butir telur, rebus lalu goreng          1 dada ayam
Kuah Ayam :
2 sdm margarine        5 siung bawang putih, cincang halus              1 liter kaldu
1 sdt garam                 1/2 sdt merica bubuk
Pelengkap :
200 gr udang               1 butir telur                 2 sdm tepung sagu

Cara Membuat :

        Perkedel Udang :

Haluskan udang, tepung sagu, telur, garam dan merica dengan blender. Cetak adonan seperti bakso, goreng dan tiriskan

        Kaldu :

Rebus dada ayam bersama daun bawang dan seledri selama kurang lebih 20 menit. Pisahkan ayam, iris dadu atau suwir halus.

        Sup :

1.      Tumis bawang putih bersama 2 sdm margarin hingga harum.

2.      Masukkan tumisan kedalam air kaldu, bersama ayam potong/suwir, dan tambahkan garam dan merica.

3.      Didihkan kembali.

  

14)  Sup Ikan Pedas

Bahan Masakan :
1 ekor ikan kakap merah berat 600 gram siangi potong 3 bagian
2 sdm air jeruk nipis               1 sdt garam                 2 sdm minyak goreng
3 siung bawang putih memarkan       1 liter air         2 sdt garam
1/2 sdt merica bubuk              2 sdm cabai bubuk      1 buah tahu sutera, potong
1 sdm penyedap serba guna (rasa asam)                  3 sdm kecap ikan
2 batang daun bawang potong 2 cm              100 gram lobak irisan bentuk korek api
2 batang wortel potong bentuk korek api      3 lembar sawi putih iris 3 cm
25 gram soun rendam air dingin hingga lunak tiriskan

Cara Memasak Sup Ikan Pedas :

1.      Ikan kakap disiangi, cuci bersih, lumuri dengan air jeruk nipis dan garam. Diamkan selama 15 menit kemudian cuci bersih kembali dan tiriskan.

2.      Panaskan minyak dam tumis bawang putih hingga harum. Didihkan air, masukkan tumisan bawang putih, garam, merica dan cabai bubuk.

3.      Setelah mendidih kembali masukkan penyedap serba guna (rasa asam) dan kecap ikan.

4.      Masukkan ikan kakap, masak hingga lunak. Tambahkan daun bawang, lobak, wortel, sawi dan soun. Masak hingga sayuran matang lalu angkat. Sajikan hangat.

Makalah "Teorema Sisa Cina - Matematika"

TEORI BILANGAN

”CHINESE REMAINDER THEOREM”

M A K A L A H

 Disusun oleh :

v  M. Farhan Muzaky                 063141111005

v  Muplih                                 063141111007

v  Asep M. Misbahudin              063141111019

Pendidikan Matematika

Universitas Muhammadiyah Sukabumi (UMMI), Sukabumi

2012

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penyusun panjatkan ke hadirat ALLAH SWT., karena dengan rahmat-Nya kami dapat menyelesaikan pembuatan Makalah ini.

Maksud dan tujuan dari pembuatan Makalah ini adalah untuk memenuhi salah satu tugas Mata Kuliah “Teori Bilangan”.

Dengan segala kerendahan hati, kami menyampaikan terima kasih kepada para pihak yang terkait dalam pembuatan Makalah ini, diantaranya kepada :

1.                  Ibu Rahmi Latifah, selaku dosen Mata Kuliah “Teori Bilangan”.

2.                  Kedua Orangtua penyusun, yang selalu memberikan do’a dan motifasinya kepada penyusun.

3.                  Teman-teman dan kepada pihak lain yang telah memeberikan bantuannya dalam pembuatan Makalah ini.

            Penyusun menyadari bahwa Makalah ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu penyusun mengharapkan saran dan kritik dari semua pihak yang bersifat membangun untuk perbaikan di masa yang akan datang. 

            Semoga Makalah ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang membutuhkannya.

Sukabumi, 28 Juni 2012

Penyusun

DAFTAR ISI

Kata Pengantar                                                                                                           i

Daftar Isi                                                                                                                     ii

Bab I                                                                                                                          1

Pendahuluan                                                                                                                1

1.1.            Umum                                                                                                                         1

Bab II                                                                                                                          3

Pembahasan                                                                                                                 3

2.1.      Teorema Sisa Cina (Chinese Remainder Theorem)                                            3

2.1.1.   Teorema Sisa Cina                                                                                3

2.1.2.   Penggunaan Teorema Sisa Cina                                                             4

Bab III                                                                                                                          12

Penutup                                                                                                                         12

3.1.Kesimpulan                                                                                                              12

BAB  I

PENDAHULUAN

1.1.            Umum

Konsep perhitungan matematika telah berkembang sejak jaman Mesir kuno, Mesopotamia, dan Yunani. Menurut Prof. Marcus Du Sautoy Tembok Besar Cina adalah prestasi luar biasa dari teknik pembangunan. Setelah mereka mulai membangun, orang Cina mulai menyadari bahwa mereka harus membuat perhitungan tentang jarak, sudut elevansi, dan jumlah material. Ketika seorang matematikawan ingin meghitung penjumlahan maka mereka menggunakan batang bambu kecil. Batang itu disusun untuk mewakili angka satu sampai sembilan, kemudian angka-angka tersebut di tempatkan dalam kolom dimana setiap kolom mewakili satuan, puluhan, ratusan dan ribuan. Misalnya 924 diwakili dengan meletakkan 4 pada satuan, 2 pada puluhan, 9 pada ratusan. Inilah yang disebut sistem nilai desimal. Namun Cina belum memiliki simbol untuk nol. Saat menggunakan batang untuk menghitung, mereka menggunakan ruang kosong untuk membangkan angka nol. Mereka memiliki kepercayaan bahwa angka memiliki kekuatan mistis. Angka ganjil dianggap sebagai laki-laki dan angka genap dianggap sebagai perempuan. Dan angka delapan dianggap sebagai angka keberuntungan.

Pada tahun 1809, ketika menganalisis batu yang disebut Pallas, Carl Friedrich Gauss menemukan kembali metode Cina yang telah ada sejak dulu yang dikenal dengan teorema sisa Cina. Contohnya, seorang wanita di pasar memiliki nampan telur, tapi ia tidak tau berapa jumlah telur yang dimiliki. Bila telur disusun dalam deret tiga, maka akan sisa satu. Bila disusun dalam deret lima maka akan sisa dua. Dan bila disusun dalam deret tujuh akan sisa tiga. Kemudian orang Cina dapat menemukan cara sistematis untuk menghitung bahwa jumlah telur dalam nampan sebanyak 52.

Pada abad ke-6, Teorema Sisa Cina telah digunakan dalam astronomi Cina kuno untuk mengukur pergerakan planet. Matematikawan yang terkenal adalah Qin Juishao. Beliau adalah seorang administator kekaisaran yang berulang kali dipecat karena menggelapkan uang pemerintahan. Namun beliau memiliki prestasi, yaitu beliau menemukan cara untuk memecahkan persamaan kubik. Dan pada abad ke-17 Isaac Newton datang dengan metode pendekatan yang sangat mirip.

  

BAB II

PEMBAHASAN

2.1.      Teorema Sisa Cina (Chinese Remainder Theorem)

2.1.1.   Teorema Sisa Cina

Bentuk asli dari teorema ini, seperti terdapat dalam buku yang ditulis oleh ahli matematika dari Cina Qin Jiushao dan diterbitkan pada tahun 1247, adalah suatu pernyataan tentang kongruensi simultan (lihat aritmatika modular).

Misalkan n₁, ..., n_k adalah bilangan bulat positif yang setiap pasangnya adalah koprima (yang artinya FPB (n_i, n_j) = 1 untuk setiap i ≠ j). Maka, untuk setiap bilangan bulat a₁, ..., a_k, selalu ada bilangan bulat x yang merupakan penyelesaian dari sistem kongruensi simultan

Dalam pemrograman pada sebuah computer (misal, pada Borland C), dapat kita lihat Pseudocode "subtitle" seperti berikut :

x_solves_it=true;

for (i= 1; i <= k; i++)

      if (x % n[i] != a[i] % n[i])

          x_solves_it=false;

Terlebih lagi, semua penyelesaian x dari sistem ini adalah juga kongruen modulo dari perkalian n = n₁...n_k.

Suatu penyelesaian x dapat ditemukan dengan cara sebagai berikut. Untuk setiap i, bilangan bulat n_i dan n/n_i adalah koprima, dan menggunakan ekstensi algoritma Euklidean kita dapat menemukan bilangan bulat r dan s sehingga r n_i + s n/n_i = 1. Jika kita menentukan e_i = s n/n_i, maka kita dapat :

untuk j ≠ I :      for (i= 1; i <= k; i++)

                   {r, s}= ExtendedEuclid( n[i], n / n[i] );

                   e[i]= s * n / n[i];

                   for (j= 1; j <= k; j++)

                   if (j != i)

                       assert( e[i] % n[i] == 1 && e[i] % n[j] == 0 );

Penyelesaian dari sistem kongruensi simultan ini adalah

For (i= 1; i <= k; i++)

       x += a[i] * e[i];

Sebagai contoh, misalkan kita ingin menemukan suatu bilangan bulat x sehingga,

 x % 3 == 2 % 3 && x % 4 == 3 % 4 && x % 5 == 2 % 5

Menggunakan ekstensi algoritma Euklidean untuk 3 dan 4×5 = 20, kita memperoleh (-13) × 3 + 2 × 20 = 1, di mana e₁ = 40 (e[1] == 40). Menggunakan algoritma Euklidean untuk 4 dan 3×5 = 15, kita memperoleh (-11) × 4 + 3 × 15 = 1. Oleh karena itu, e₂ = 45 (e[2] == 45). Akhirnya, menggunakan algoritma Euklidean untukr 5 dan 3×4 = 12, kita memperoleh 5 × 5 + (-2) × 12 = 1, yang berarti e₃ = -24 (e[3] == -24). Jadi, penyelesaian x adalah 2 × 40 + 3 × 45 + 2 × (-24) = 167. Semua penyelesaian yang lain adalah kongruen 167 modulo 60, yang berarti bahwa mereka semua kongruen 47 modulo 60.

Kadangkala, sistem kongruensi simultan dapat diselesaikan sekalipun n_i (n[i]) setiap pasangnya tidak selalu koprima. Syarat-syarat yang lebih tepat adalah sebagai berikut : sistem mempunyai penyelesaian x jika dan hanya jika a_i ≡ a_j (mod fpb(n_i, n_j)) (a[i] == a[j] % gcd(n[i], n[j])) untuk semua i dan j. Semua penyelesaian x adalah kongruen modulo kelipatan persekutuan terkecil dari n_i (n[i]).

Dengan menggunakan metode substitusi, kita seringkali bisa menemukan penyelesaian dari sistem kongruensi simultan, sekalipun setiap pasang modulusnya tidak selalu koprima.

2.1.2.   Penggunaan Teorema Sisa Cina

Tercatat dalam literatur Cina, pada abad pertama Sun-Tsu mengajukan sebuah permasalahan seperti berikut, “Tentukan bilangan yang memberikan sisa 2, 3, 2 ketika dibagi oleh 3, 5, dan 7!!”. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan Teorema Sisa Cina.

Teorema Sisa Cina :

Misalkan n1, n2, n3, ... , nr bilangan bulat positif sedemikian sehingga FPB (ni, nj) = 1, untuk i.j.

Sistem Kongruensi Linier x =a1 (mod n1)

x =a2 (mod n2)

x =a3 (mod n3)

.

.

.

x =ar (mod nr)

memiliki solusi yang unik dengan modulo n1 x n2 x n3 x ... x nr.

Contoh 1 :

Permasalahan yang diberikan oleh Sun-Tsu berkorespondensi dengan tiga sistem kongruen

Berikut :

x =2 (mod 3)

x =3 (mod 5)

x =2 (mod 7)

untuk menyelesaikan permasalahan di atas, digunakan Teorema Sisa Cina.

Penyelesaian :

Cara I :

·         Langkah I : Identifikasi unsur yang diketahui.

a1= 2, a2 = 3, dan a3 = 2

n1 = 3, n2 = 5, dan n3= 7

·         Langkah II : Cari nilai n dengan rumus n = n1 x n2 x n3 x ... x nr

Jadi, n = n1 x n2 x n3 = 3 x 5 x 7 = 105.

·         Langkah III : Cari nilai Nk untuk k = 1, 2, 3 dengan rumus Nk = .

N1 = 35, N2 = 21, N3 = 15.

·         Langkah IV : Cari nilai xk, dari kongruensi linier Nkxk = 1 (mod nk), dengan k = 1, 2, 3.

Jadi,

N1x1 = 1 (mod n1). 35x1 = 1 (mod 3). x1 = 2

N2x2 = 1 (mod n2). 21x2 = 1 (mod 5). x2 = 1

N3x3 = 1 (mod n3). 35x3 = 1 (mod 3). x3 = 1

·         Langkah V : Tentukan solusi dari sistem yang diberikan dengan rumus,

= a1N1xk + a2N2x2 + ... + arNrxr modulo n, untuk k = 1, 2, ... , r

Sehingga diperoleh solusi :

= a1N1xk + a2N2x2 + a3N3x3

= 2 x 35 x 2 + 3 X 21 X 1 + 2 X 15 X 1

= 233.

modulo 105

Jadi, solusi unik dari sistem kongruensi yang diberikan : x = 233 =23 (mod 105).

Cara II :

Untuk menyelesaikan permasalahan Sun-Tsu dapat diselesaikan dengan teorema sisa cina, dengan langkah berikut.

·         Langkah I :

Tuliskan unsur yang diketahui.

x =2 (mod 3)

x =3 (mod 5)

x =2 (mod 7)

·         Langkah II :

Pilih salah satu persamaan kongruensi, misalkan x = 2 (mod 3) kemudian rubah dalam definisi. Catatan, pilih persamaan kongruensi yang bentuknya paling sederhana. Hal ini untuk mempermudah pengerjaan. Sehingga diperoleh, x = 2 (mod 3) .x = 2 + 3p, dengan p .Z.

·         Langkah III :

Substitusikan x = 2 + 3p ke persamaan kongruensi kedua yakni x = 3 (mod 5).

Sehingga diperoleh,

2 + 3p = 3 (mod 5)

3p = 1 (mod 5)

3p = 1 (mod 5), dan

2 = 2 (mod 5)

6p = 2 (mod 5)

p = 2 (mod 5)

Berdasarkan definisi,

p = 2 (mod 5)

p = 2 + 5q, dengan q .Z.

·         Langkah IV :

Substitusikan p = 2 + 5q ke persamaan x = 2 + 3p.

Sehingga diperoleh, x = 2 + 3p = 2 + 3(2 + 5q) = 2 + 6 + 15q = 8 + 15q.

·         Langkah V :

Substitusikan x = 8 + 15q ke persamaan kongruensi ketiga yakni x = 2 (mod 7).

Sehingga diperoleh,

8 + 15q =2 (mod 7)

q =1 (mod 7)

Berdasarkan definisi,

q = 1 (mod 7)

q = 1 + 7r, dengan r .Z.

·         Langkah VI :

Substitusikan q = 1 + 7r ke persamaan x = 8 + 15q.

Sehingga diperoleh, x = 8 + 15q = 8 + 15(1 + 7r) = 23 + 105r. x = 23 (mod 105).

Jadi, solusi unik dari sistem kongruensi yang diberikan adalah x = 233 = 23 (mod 105).

Contoh 2 :

Tentukan penyelesaian dari kongruensi linier 17x = 9 (mod 276).

Penyelesaian :

Karena 276 = 3 . 4 . 23, kongruensi linier 17x = 9 (mod 276) ekuivalen dengan sistem kongruensi berikut :

17x =9 (mod 3) atau x =0 (mod 3)

17x =9 (mod 4) x =1 (mod 4)

17x =9 (mod 23) 17x =9 (mod 23)

Berikutnya, pilih kongruensi linier yang paling sederhana yakni x = 0 (mod 3).

Selanjutnya, x = 0 (mod 3), maka berdasarkan definisi diperoleh x = 3k, k € Z.

Substitusikan x = 3k ke dalam kongruensi linier kedua yakni x = 1 (mod 4), sehingga diperoleh 3k = 1 (mod 4).

Selanjutnya, kalikan kedua ruas dengan 3 sehingga diperoleh 9k = k = 3 (mod 4).

Berdasarkan definisi, maka k = 3 (mod 4). k = 3 + 4l, l € Z.

Substitusikan k = 3 + 4l ke persamaan x = 3k, sehingga x = 3k = 3(3 + 4l) = 9 + 12l.

Substitusikan x = 9 + 12l ke kongruensi linier ketiga yakni 17x = 9 (mod 23), sehingga diperoleh :

17(9 + 12l) = 9 (mod 23).

204l = -144 (mod 23).

3l = 6 (mod 23).

l = 2 (mod 23).

Berdasarkan definisi l = 2 (mod 23). l = 2 + 23m, m € Z.

Substitusikan l = 2 + 23m ke dalam persamaan x = 9 + 12l.

Sehingga diperoleh :

x = 9 + 12(2 + 23m) = 33 + 276l.

x = 33 (mod 276)

jadi, solusi dari 17x = 9 (mod 276) adalah x = 33 (mod 276).

Dalil : Jika m₁, m₂, m₃, ... , m_r  Z+, dan (m_i,m_j) = 1 untuk i j, maka kongruensi simultan :

x  a₁ ( mod m₁)

x  a₂ ( mod m₂)

x  a₃ ( mod m₃)

.........................

.........................

x  a_r ( mod m_r)

Mempunyai penyelesaian persekutuan yang tunggal :

x    a_jb_j (mod [m₁,m₂,m₃,...,m_r]

Bukti :

Misal m = m₁, m₂, m₃, ... , m_r

Karena,  ( j = 1,2,3, ... , r) adalah bilangan bulat yang tidak memuat m_j, serta (m_i,m_j) =1 untuk i j maka  = 1.

Menurut dalil jika  = 1, maka kongruensi linear 1 (mod m_j) mempunyai 1 selesaian. Karena  masih memuat m_i, maka untuk i j

Berlaku   0 (mod m_j).

Dengan memilih t =  a_jb_j , maka

t =  +  + ... +  + ... +

Dalam modulo m_i (i=1,2,3,..., r) t dapat dinyatakan dengan

t  (  +  + ... +  + ... + ) (mod m_i)

t (mod m_i)+(mod m_i)+ ... + (mod m_i)+ ... +)(mod m_i)

Karena   1 (mod m_j) dan untuk i j berlaku   0 (mod m_j) maka diperoleh :   0 (mod mi) untuk i = 1,2,3,..., r.

Sehingga   0 (mod mi) untuk i = 1,2,3,..., r.

Jadi, t  0 (mod m_i) + 0 (mod m_i) + ...+ a_i (mod m_i) + ... + 0 (mod m_i)

         t  a_i (mod m_i).

Karena i = 1,2,3, ... , r maka

      t  a₁ (mod m₁)

      t  a₂ (mod m₂)

      t  a₃ (mod m₃)

     ......................

      t  a_r (mod m_r).

Hal ini berarti memenuhi semua kongruensi x  a_i (mod m_i). Dengan kata lain t merupakan selesaian persekutuan dari semua kongruensi linear simultan tersebut.

Contoh :

1. Tentukan penyelesaian kongruensi simultan linear berikut :

x  5 (mod 8)

x  3 (mod 7)

x  4 (mod 9)

Jawab :

Diketahui a₁ = 5, a₂ = 3, a₃ = 4 dan m₁ = 8, m₂ = 7, m₃ = 9.

Sehingga m = 8.7.9 = 504

(m₁,m₂) = 1, (m₁,m₃) = 1, (m₂,m₃) = 1.

Jadi kongruensi linear simultan memenuhi syarat untuk diselesaikan dengan teorema sisa China

  1 (mod m₁)   b₁  1 (mod 8)

                                   67 b₁  1 (mod 8)

                                        b₁  7

Dengan cara yang sama diperoleh b₂ = 4 dan b₃ = 5 

Jadi x =   a_jb_j

      x = 63.7.5 + 72.4.3 + 56.5.4

         = 4186

     x  4186 (mod [8.7.9])

     x   157 (mod 504)

2. Tentukan penyelesaian kongruensi

    19x  1 (mod 140)

Jawab :

Karena 140 = 4.5.7 , maka kongruensi dapat dipilah menjadi kongruensi   simultan yaitu

19x  1 (mod 4)

19x  1 (mod 5)

19x  1 (mod 7)

Selanjutnya dapat disederhanakan menjadi

    X  3 (mod 4)

    X  4 (mod 5)

    X  3 (mod 7)

Dengan cara seperti contoh 1 di atas diperoleh

x = 899

x  899 (mod 140)

x  59 (mod 140)

BAB III

PENUTUP

3.1.      Kesimpulan

Teorema Sisa Cina (Chinese Remainder Theorem) sudah ada sejak pertengahan abad pertama. Pada tahun 1809, ketika menganalisis batu yang disebut Pallas, Carl Friedrich Gauss menemukan kembali metode Cina yang telah ada sejak dulu yang dikenal dengan Teorema Sisa Cina. Pada abad ke-6, Teorema Sisa Cina telah digunakan dalam astronomi Cina kuno untuk mengukur pergerakan planet. Matematikawan yang terkenal adalah Qin Juishao.

Penerapan teorema sisa cina dalam menyelesaikan sistem persamaan linier non homogen dengan Algoritma Garner (Algoritma Garner bekerja dengan kongruen bilangan bulat modulo m. Bahwasanya Algoritma Garner digunakan untuk menyelesaikan masalah sisa Cina yang disajikan dalam teorema sisa Cina. Selanjutnya, algoritma Garner digunakan untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linier. Adapun sistem persamaan limier yang dimaksud adalah yang non homogen dengan konstanta bilangan bulat dan mempunyai penyelesaian tunggal).

Bentuk asli dari teorema ini, seperti terdapat dalam buku yang ditulis oleh ahli matematika dari Cina Qin Jiushao dan diterbitkan pada tahun 1247, adalah suatu pernyataan tentang kongruensi simultan.